Разговор о математике и не только

Думаем. Размышляем. Делаем выводы

Математическая составляющая профессии, безусловно, сыграла в формировании моего взгляда на школьное образование свою, мне кажется, положительную, роль. А знание «внутренних» особенностей профессии учителя позволяет представить общую картину наиболее полно. К тому же, я постоянно «помогаю по математике» детям разных возрастов, способностей и подготовки из семей моих многочисленных знакомых. Но, в общем, все мои наблюдения сводятся к очень невеселым мыслям по поводу состояния образования в средней школе. Эти мысли постоянно находят подтверждение в разговорах с друзьями и коллегами. В частности, мне известна весьма печальная статистика результатов решения задач окружного тура школьной математической олимпиады школьниками Москвы. А на олимпиаду, как известно, посылают лучших учеников. И нельзя сказать, что задачи стали сложнее, скорее, наоборот. Причем особенно интересно, что в олимпиаде 2008-09 учебного года именно с задачами «школьного» характера дело обстояло хуже, нежели с задачами, которых в школе «не проходили».

Почему многим детям не нравится математика

К счастью, многих современных родителей волнуют вопросы: почему для поступления в институт необходимы занятия с репетиторами? Почему в школе так тяжело «идет» математика? Почему математика так не нравится многим детям? Почему так усложнились программы по математике? На последний вопрос ответить сравнительно легко, потому что ответ будет таким: школьные программы по математике не усложнились, а упростились. Чтобы в этом убедиться, достаточно сравнить систему задач из прежних классических советских учебников Киселева и задачника Рыбкина по геометрии или задачника Ларичева по алгебре с задачами из нынешних школьных учебников или дидактических материалов, используемых в массовой школе. Почему же детям так трудно разобраться в математике? Именно потому, что вот на это самое «разобраться» времени-то на школьных уроках и не отводится и цели такой перед учениками (и учителями) не ставится! А как может нравиться бессмысленная, непонятная, да при этом обязательная деятельность?

Приобретение культуры мышления

Занятия математикой не должны являться занятиями с числами и формулами. Это, прежде всего, занятия с собственными способностями к рассуждению и размышлению, воспитывающие культуру этих самых размышлений и рассуждений; это, если угодно, занятия этикетом мыслительной деятельности. Как поведение может быть организованным или нет, приличным или неприличным, так и мыслительная деятельность может быть ясной или безалаберной, культурной или бескультурной. Занятия математикой — это, прежде всего, формирование культуры мышления. И они, как часть общечеловеческой культуры, не могут существовать отдельно от нее. То есть, конечно, человек может, допустим, считая себя «вполне культурным», позволить себе выбросить мусор под куст в лесу. Или бросить обертку мимо помойки, или зайти в комнату с чисто вымытым полом, не вытерев ног о тряпку. Но это означает просто-напросто лишь то, что ему не хватает этой самой культуры (будь он самым что ни на есть распрекрасным математиком).

А может наоборот, содержать себя «в полном порядке», но не уметь связать двух слов, или, что еще хуже, осмысленно сделать какой-нибудь вывод из собственного же опыта. А еще бывает «культура» напоказ и культура внутренняя, глубоко прочувствованная; красующаяся культура-тщеславие и незаметная культура-скромность.
Так, ученик может учиться — и притом успешно! — исключительно ради выгод: сначала ради оценок, похвалы окружающих, ради ЕГЭ; затем ради материального благополучия или возможности возвыситься над прочими. В этом случае без культуры мышления можно обойтись легко. Или же он может учиться ради интереса, ради воспитания себя (выраженного в стремлении становиться лучше), а затем — ради ответа на вопрос о смысле собственной жизни. И вот тут-то без культуры мышления не обойтись никак. Иначе выводы будут ошибочными, а улучшение себя окажется раздуванием гордыни. Короче говоря, стремление стать культурным человеком понимается нами как стремление приобрести в конце концов культуру духовную, а жизнь свою сделать оСМЫСЛенной.

Почему же занятия математикой могут помочь в достижении этих целей? Именно потому, что они являются наилучшим упражнением для приобретения культуры мыслительной деятельности, не отягощенным «мусорной», с точки зрения приемов этой деятельности, информацией. По словам замечательного математика и известного педагога, автора школьных учебников и задачников И.Ф. Шарыгина, математика — экологически чистая пища для размышлений. Приемы мыслительной деятельности, отрабатываемые с помощью математических упражнений, являются основой для грамотных размышлений по какому угодно поводу.

Но также необходимо отдавать себе отчет в том, что занятия математикой при неправильном к ним подходе из очень полезной деятельности могут превратиться в деятельность, убийственную для интеллекта ребенка, как это и произошло в средней школе. Самым вредным для развития интеллекта ребенка предметом в школе стала именно математика в том виде, в котором она преподносится в настоящее время в подавляющем большинстве случаев. Из этого правила, безусловно, есть исключения: школы, где ситуация с математикой иная. Но такие школы — в основном специализированные и составляют очень малую долю среди всех школ.

Ситуация настолько плачевна, что ученика легче «реанимировать», если он вообще не занимался математикой, чем если он хоть как-то старался соответствовать школьным требованиям. Если же он ПРИНЯЛ школьные «правила игры» в изучении математики, «реанимацию» можно считать практически невозможной. Поясню. В школе учителя поставлены своим начальством (а начальство — его начальством) в такие условия, что им НА НЕСКОЛЬКО ПОРЯДКОВ сложнее обучать детей разумному подходу к математике, нежели организовать примитивное запоминание фактов и приемов, без осмысления учениками собственной деятельности. Поэтому самый распространенный ответ ребенка на вопрос «Почему ты так сделал?» — «Нас так учили». Впрочем, и сами учителя уже настолько привыкли к данному положению вещей, что мало осталось таких, которые могут учить по-другому. О том, как это получилось — разговор особый. Все, как обычно бывает в таких случаях, произошло как бы «само собой». Но не будем здесь вести этот грустный рассказ, а призовем подумать, как можно попробовать избежать дурного влияния школьной математики на ребенка средствами, доступными мыслящим и ответственным родителям.

Основной задачей родителей в этом случае является организация осмысливания их детьми того материала, который дети «проходят» в школе. И начинать надо с начала, то есть с материала начальной школы. Дело в том, что после начальной школы мышление детей чаще всего предельно «алгоритмизовано», то есть, приспособлено к действию по алгоритму. И одновременно свободно от собственных мыслей по поводу своей же деятельности. Ответственность за эту деятельность полностью переложена на алгоритм. Это, безусловно, сопряжено со способами обучения младших школьников. Их ответы на вопрос «Почему?», заданный по поводу решения какой-нибудь задачи или примера, в основном сводятся к следующим: «так учили», «так надо», «так всегда делали», «таково правило». Поэтому и в старшей школе, если правил не хватает — например, перед учениками поставлена какая-либо проблемная ситуация, — они тут же выдумываются детьми, причем вопрос о правильности, по привычке, не стоит, главное, чтобы они выглядели похожими на какие-нибудь уже известные школьникам правила. Это следствие потребности детей на что-то опереться, что само по себе замечательно. Но отсутствие у них собственного мышления, собственной ответственности делает ситуацию удручающей.

Что могут родители

Итак, дети не приучены к главному: задумываться над тем, что они пишут, что делают. И, наоборот, хорошо приучены «решать», не задумываясь, «на автомате». Обусловлено это, в частности тем, что основную свою методическую задачу учителя начальной школы чаще всего видят в тщательной отработке навыков воспроизведения всего, чего угодно, основанных, по сути, на вырабатывании у детей условных рефлексов. И если при отработке почерка, выучивании букв и цифр это необходимо, то при развитии навыка чтения с одновременным пониманием прочитанного, навыка счета, в том числе запоминания таблицы умножения, эта методика приводит к катастрофическим для дальнейшего образования последствиям. Именно поэтому слишком многие дети сильно затрудняются в понимании текста, а значит, в осмыслении написанного, что ведет к снижению или почти полной потере способностей анализировать что-либо и делать какие-либо самостоятельные выводы. Отсюда — трудности при пересказе относительно длинных или даже совсем коротких текстов. (Кстати, отсюда же возникают не только учебные трудности, но и чисто человеческие: инфантильность мышления и, соответственно, поведения многих современных подростков, характеризующиеся практически полной безответственностью).

Решения математических задач просто выучиваются наизусть, вплоть до совпадения отдельных слов. Творческая литературная деятельность представляется делом совершенно безнадежным. Сочинения в старших классах практически не пишутся, а изложения вызывают огромные трудности: язык школьников чаще всего беден и примитивен, состоит из штампов-формул. Ну и, конечно, масла в огонь подливает «масскульт», особенно «звездное» и рекламное «творчество» недавних школьников. На мой взгляд, такое положение поддерживается и культивируется с простой и, думаю, главной целью: формирования рынка всеядных потребителей.

Обратимся к корням — методам обучения наших детей. Итак, главным нежелательным эффектом обучения, основанном на запоминании и отработке применения правил и формул, является неумение действовать и мыслить ответственно, постоянная потребность в готовых рецептах, смысл которых сознавать не требуется и даже возбраняется, так как это снижает скорость изложения материала и «качество» написания отрепетированных «контрольных» работ.

Так научено не одно поколение учеников, в том числе и подавляющее большинство сегодняшних учителей, которые, часто не сознавая того, что делают, передают свой опыт дальше, обучая учеников в том же бездумном стиле, в каком научены сами. Прибавим экономически обусловленное агрессивное влияние «внешней среды» и получим почти безвыходную ситуацию. Почти. Если бы не мы сами — родители своих детей, умеющие думать и делать выводы. Мы, родители, можем (и должны!) являться самым главным, мощным и определяющим фактором воспитания образа мыслей своих детей. Более того, при нашем родительском, умном и неравнодушном подходе к воспитанию своих детей и одновременно себя, — а одно без другого не может существовать! — конкурировать с нами мало кто и что может. Хотя, безусловно, опасности, влиянием которых на детские и наши души нельзя пренебрегать — на каждом шагу. Но кто говорит, что будет легко? Легко можно только деградировать, что и происходит на наших глазах, и отражением этого процесса является, например, постоянное снижение уровня заданий ЕГЭ по математике.

С чего начать

Что же можно предпринять, с чего начать образование — настоящее, а не бутафорское — своих детей?

Во-первых, с осознания того, что внешнее влияние рекламы, безумных фильмов, компьютерных игр и прочих легионов опасностей играет определяющую роль в формировании поведения и вкусов ребенка только в случае отсутствия положительного влияния на него общения с родителями, нехватки этого общения. Наше исполненное любовью, строгое и одновременно терпеливое и доброжелательное общение со своими детьми является той частью их защиты от многочисленных неблагоприятных внешних воздействий, которая так необходима нашим детям для полноценного развития.

Для православных, воцерковленных семей очевидно, что другой частью этой защиты является молитва. Но забывать об опасностях нельзя, и в первую очередь следует исключить те из них, которые подменяют живое человеческое общение виртуальным общением, например, Интернет-общение или просматривание телевизора, которые все чаще становятся причиной болезненных состояний детей. Также одним из наиболее вредных факторов, влияющих на умственное и физическое состояние детей, являются сотовые телефоны. Лучше, если у вашего ребенка «сотика» не будет вовсе. То же относится и к популярным «игровым станциям». Иначе у вас не будет шансов привлечь заинтересованное внимание ребенка, а у него не будет свободного времени для общения с вами.

Во-вторых, организовать осмысление математического материала, проходимого в школе, для начала можно с просьбы объяснить вам то или иное из школьной программы, сославшись, например, на то, что в свое время в школе вы это не поняли, а вот теперь вам представился замечательный и уникальный случай наконец-то разобраться по-настоящему! Ни в коем случае не перехватывайте инициативу в объяснении, даже если оно в исполнении вашего ребенка будет неудовлетворительным. Просто сообщите, что понятнее вам не стало и попробуйте найти объяснение вместе. Причем ваша роль должна быть очень скромной, вы можете лишь догадываться, предполагать, грамотно и точно ставя вопросы, постоянно подталкивая вашего сына или дочку к доходчивому, понятному на самом деле прежде всего ему самому, объяснению. И обязательно порадуйтесь вместе с ребенком, насколько вам стало приятно от того, что вы так ясно поняли (наконец-то!), с его помощью, обсуждаемый вопрос. Тогда в следующий раз он охотно откликнется и с радостью поможет вам справиться с очередным «пробелом» в вашем школьном образовании.

Начинать лучше с самых простых вопросов, как раз с тех, которые «проходят» в начальной школе. Не стоит смущаться, например, что вы не понимаете, почему «от перестановки мест слагаемых сумма не меняется». Правило-то у всех на слуху, а вот почему оно работает? Можно, допустим, сказать: «Не понимаю, как это объяснить. Помоги». Посложнее будет тот же вопрос про два сомножителя. Затем, с тех же позиций понимания по-настоящему, можно обсудить, например, формулы периметра и площади прямоугольника, объема коробки. Заодно разобраться, что такое «квадратная единица» и «кубическая единица» и почему в одном метре 100 сантиметров, а в одном квадратном метре уже вовсе не 100, а гораздо больше квадратных же сантиметров. И что такое литр, и почему миллилитр часто называют «кубиком», и какого размера этот кубик. Кстати, будет небезынтересным уточнить (или выяснить?) значения приставок деци-, санти-, милли-, кило- и других. Почему в одном случае в задачах «на скорость» скорости складывают, а в другом вычитают. И так далее, и так далее. Причем вовсе не обязательно устраивать специальные занятия. Напротив, вопросы эти хорошо обсуждать устно, например, по пути куда-нибудь, скрашивая длинную скучную дорогу, в общем — при всяком удобном случае, лишь бы у вас была возможность более или менее неторопливо поговорить. Не хватило времени — не беда, разговор можно будет (только — обязательно, вам же интересно!) продолжить. Можно просто тренироваться в устном счете, подбрасывая попеременно друг другу примерчики, заранее условившись о величине чисел (скажем, не больше двузначных). Или совместно изобрести способ разумного и удобного запоминания таблицы умножения. Главное при этом избежать запоминания-зубрежки.

Остановлюсь на этом вопросе чуть подробнее, так как таблица умножения часто является началом негативного отношения к математике и трудностей «системного характера». Оно и понятно: попытки понимания математики все время будут перебиваться раздражением от непонимания сопутствующих мелочей, связанных с неумением, в частности, считать. Попробуйте, например, вести содержательный разговор с иностранцем, справляясь в словаре о каждом слове, произнесенным им или вами! Нетрудно представить, что из этого выйдет.

Итак, для начала можно попробовать вместе с ребенком, по очереди называя числа, досчитать до ста «десятками» (легко!), «пятерками» (тоже легко!). Но, между прочим, при этом формируется еще и понимание признаков делимости на 5 и на 10. Затем считаем «двойками». Здесь, заодно, возникает тема четности.

Замечу, что в книгах о занимательной математике довольно часто встречаются остроумные и одновременно простые задачи, связанные с идеей четности. Например, такая: «Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 тетрадей, то стопки станут одинаковыми. На сколько в одной стопке больше тетрадей, чем в другой?» Или такая (для детей — существенно сложнее первой): «В записи числа 198 цифр. И все эти цифры равны единице. Делится ли это число на 18?» Чтобы все читатели оценили красоту последней задачи, приведу решение. На 18 может поделиться только четное число. А у нашего числа последняя цифра — единица. (Число 198 выбрано для тех, кто знаком с признаком делимости на 9; в качестве «ложного следа»).

Затем можно потренироваться считать «тройками» и так далее. Это уже посложнее. Возникает больше ошибок, но и «спортивный» интерес возрастает. Потом — в обратную сторону (от ста, точнее, от соответствующего числа, ближайшего к ста). Это будет замечательной подготовкой к усвоению таблицы умножения.

Можно разнообразить ваши упражнения задачками, подобными приведенным выше. Или придумыванием способов удобного складывания или вычитания различных чисел. Например, когда у нас с дочерью впервые возникла необходимость сложить числа 5 и 7, дочь быстро, «в уме», посчитала и сообщила мне верный результат. На мою заинтересованную просьбу рассказать, как это у нее получилось так быстро посчитать, последовало такое рассуждение: «Ну, я же знаю, что 5 плюс 5 будет 10, ну, и еще два». При этом прием счета «на пальцах» (загибая их по одному) уже был у нее в арсенале. И я не уверен, что дочь не «подстраховалась». Но, может быть, специально ради нашего разговора, изобрела такое вот объяснение. Случай этот я рассказал только для иллюстрации того, как из обычного скучного действия можно сделать интеллектуально «вкусный» разговор.

Конечно, задачи можно преподносить совершенно по-разному, придумывать истории или ситуации. Например, можно считать ступеньки или, скажем, червячков птенцам скармливать, всем поровну, и интересоваться, сколько этих самых червячков должны поймать птички-родители и т.п. Кому-то больше нравится одно, кому-то — другое. Ясно, что к разным детям нужен иногда ОЧЕНЬ разный подход. Тем более что объяснять умножение ДО выучивания таблицы вовсе не то же самое, что ПОСЛЕ. Ну, а дальше надо изобретать, делать ваше общение по поводу таблицы умножения интересным и интеллектуально увлекательным. Дальше намеренно не привожу последовательности действий. Важно, чтобы дети научились думать сами, контролировать свои шаги размышлением. И родители задумались над этим же. Не форсируйте события, будьте внимательны к развитию мысли своего ребенка. Главное — получать радость от совместного творчества.

А если вы еще время от времени будете «подкидывать» какие-нибудь простые устные загадки и задачки на сообразительность (скажем, за чаем) для обсуждения, это не только послужит развитию мышления всех участников разговора, но и придаст вашему совместному времяпрепровождению особенный, увлекательный характер. К слову, расскажу об одной забавной игре для двоих. Один (предположим, папа) называет любое натуральное число, не большее 10. Затем другой (допустим, сын) прибавляет к нему любое натуральное число, не большее 10 и так далее. Выигрывает тот, кто первым получит число 100. И, безусловно, надо позаботиться о наличии в домашней библиотеке хороших книг.

Конечно, вряд ли возможно таким образом освоить всю школьную программу по математике. К тому же, нельзя забывать о существовании других предметов. И гнаться за полным охватом всех разделов школьной математики, безусловно, не стоит. А вот воспитать таким образом в своих детях умение по-настоящему учиться, умение вдумываться, умение строить собственные рассуждения и делать выводы, ответственность за них, безусловно, в наших силах и, более того, обязанностях.